纯策略的纳什均衡求解

确定最优反应策略的一个简单方法，就是在支付矩阵中与每一个策略的最优反应策略相对应的收益或支付数字下标注下划线。这就是纯策略纳什均衡求解的划线法。划线法的基本思想在于，一个博弈参与者首先要做的是针对其他参与者的每种策略，找到自己的最佳对策，即自己所有的可选策略与其他参与者的策略组合之后是使自己得益最大的一种策略。这种策略是相互比较而得到的，因此总是存在。

例题

美国环球公司2001年出品的电影《美丽心灵》可谓家喻户晓。该片艺术地再现了数学天才、1994年诺贝尔经济学奖得主之一、罹患妄想型精神分裂症30多年后又奇迹般恢复正常的约翰·纳什传奇般的人生经历。

这部电影有一个这样的情节：在酒吧中有两个或两个以上的男士，有多个魅力十足的女士且女士至少比男士多一人。在这些女士中只有一位金发女郎，相对于其他女士，男士们更喜欢金发女郎，但有女士陪伴总比没有好。 所示纳什与兰哈德的策略与策略组合。如果所有的男士都去追求金发女郎，他们不仅会被拒绝，还会惹恼其他女士，结果男士们都没有找到女伴，这是最坏的结果。因此电影中的纳什建议，所有男士都应该忘掉金发女郎，追求其他女士，这样男士们都不会空手而归。

我们用划线法求解金发女郎问题的纳什均衡解。 当纳什选择追求金发女郎策略时，对于兰哈德来说，追求其他女士的收益2要高于与纳什发生冲突的收益0，因此，对他来说追求其他女士是最优反应。

当纳什选择追求其他女士策略时，对于兰哈德来说，追求金发女郎的收益5要高于追求其他女士的收益2，因此追求金发女郎是他的最优反应。

当兰哈德选择追求金发女郎策略时，对于纳什来说，追求其他女士的收益2要高于与兰哈德发生冲突的收益0，因此追求其他女士是最优反应。

当兰哈德选择追求其他女士策略时，对于纳什来说，追求金发女郎的收益5要高于追求其他女士的收益2，因此追求金发女郎是最优反应。

［追求其他女士，追求金发女郎］与［追求金发女郎，追求其他女士］为金发女郎问题的纳什均解。

除了划线法外，在2×2博弈中，还可以用箭头法得出与划线法同样的结果。 随便找一个方格，博弈的一个参与者在其他博弈者保持原来的策略不变时，能够通过改变策略获得更多收益，则这个参与者调整策略，用箭头表示其改变的方向。如在第一个方格中，纳什选择金发女郎时，兰哈德由追求金发女郎改变为追求其他女士，这时箭头由第一个方格中的支付0指向下方的支付2。其他依此类推。当在某一个方格中，箭头不再指向其他方格时，该方格即为纳什均衡解，方格中双方参与者的策略均为最优反应。

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